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        艾拉想要計算出這個不規則圖形的面積。

        她在拋物線上找出一個個點,分別垂直x軸與y軸做出兩條線,以此把這個不規則圖形分成了一個個矩形。這些矩形的面積加起來顯然大于那個不規則圖形的面積。然而,把這些矩形分的越細,他們的面積就會越接近于那個不規則圖形。

        艾拉假設從坐標軸原點到y=1這條直線之間分出了N個矩形,那么每個矩形的寬度就是1/N。又因為拋物線的函數式是y=x2,那么第一個矩形的高就是1/N2,第二個矩形的高度就是2/N2……

        那么,所有矩形的面積之和就是:

        S=1/N×1/N2+1/N×2/N2+……+1/N×>
這是一個無窮級數。然而,戈特弗里德曾經教過艾拉無窮多項式的平方和公式。在利用這個公式將這個無窮級數化簡之后,她得到了一個極為簡單的算式:

        S=1/3+1/2N+1/6N2

        N越大,矩形的面積和就越接近于那個不規則圖形。那么當N無限大的時候,矩形的面積之和S就會等于那個不規則圖形的面積。此時,1/2n和1/6n2就是無限小,完全可以舍去。

        于是這個不規則圖形的面積就顯而易了:S=1/3。

        ——無限大、無限小

        艾拉把剛剛出現的這兩個概念低聲念了一遍。在數學運算中出現了無限的概念,讓她多少感到有些不適。

        她甩甩頭,把這種不適感拋到腦后,然后將函數式由y=x2改成了>
雖然只是輕微的改動,但要求出面積的難度立刻大了數倍。這次,艾拉寫了整整兩頁紙,也沒能向先前一樣把公式化簡。

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